MIT18_06S 1.11

这一章主要讲述任意允许加法和标量乘法的向量组成的向量空间。

New vector spaces

首先来看3x3的矩阵M，从这种矩阵可以得到三种子空间，分别是对称矩阵S，上三角矩阵S以及这两种矩阵的交集——对角矩阵的空间。M的维度是9，因为必须要选择9个数字来表示矩阵的9个位置，这就非常类似，其中基的选择可以是其中一个位置是1，其他位置都是0的3x3矩阵，一共有9个。

S的维度是6，S的元素主要是需要决定对角线的三个位置和右上角的三个位置。至于基的选择也是6个矩阵：

U的维度也是6，原因和基的选择与S类似，并且着恰好是M的基的子集。

D是S跟U的交集，因为它们基的交集恰好是3个，因此其维度也是3。

然而S跟U的并集却不是一个子空间，我们必须要对此进行填充，得到我们所说的和S + U。这是 M 的子空间。事实上，S + U = M。

现在考虑5 × 17的矩阵空间M，即使包含零矩阵，但包含所有4阶矩阵的M子集也不是子空间，因为两个 4 阶矩阵的和可能不具有 4 阶。

对于，所有满足的向量是一个子空间，它包含零向量，并且在加法和标量乘法下是闭环的。它是矩阵的零空间。因为A的秩为1，所以该零空间的维数为n − r = 3。该子空间具有特殊解的基：

列空间A为R1，左零空间仅包含零向量，维度为零，其基是空集。 A的行空间的维度也为 1。

矩阵的秩是其列（或行）空间的维数。矩阵的秩是1，因此其每一列都是前一列的倍数。

每个1阶矩阵A都可以写成，其中 U 和 V 是列向量。我们将使用 1 阶矩阵作为更复杂矩阵的构建块。

本章还介绍了一些微分方程或者图论看作向量空间去考虑的内容，这里就不细说了。