MIT18-06S-1-9笔记

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MIT18_06S 1.9

Independence, basis, and dimension

这一章主要讲了一些概念。

Linear independence

假设A是一个m x n的矩阵（m < n，Ax = b有着比等式更多未知数）。如果A至少有一个free variable，那么就会存在非零解使得Ax=0。那么A的列就是dependent。

如果两个向量不在同一条直线上，则它们是dependent。如果三向量不在同一平面上，则它们也是dependent。将Ax视为A列向量的线性组合，如果A的nullspace仅仅包含零向量，那么A的列向量independent。

如果A的列是independent，则所有列都是pivot列，A的rank为n，没有自由变量。如果A的列是dependent，则rank(A) < n。

Spanning a space

向量v1,v2,..,vn span成一个空间的意思就是，这个空间由这几个向量的任意线性组合组成。例如A的列向量组成了A的列空间。

Basis and dimension

一个向量空间的基(basic)就是一组符合如下特性的向量序列：

  • v1, ..., vd相互不相关（independent）；
  • v1, ..., vd可以span一个向量空间；

举个例子，，它们的的列线性无关，因为 ，只有当时才能成立。

然而矩阵的列向量就不能算是一组基，因为它们不满足线性不相关。基不能满足线性无关，并且组成的矩阵也是可逆的。

Basis for a subspace

和可以组成的一个平面但不能组成的一个基，换言之，一个空间的基都有着相等数量的向量，这个数也等于空间的维度。

Bases of a column space and nullspace

假设存在矩阵。

根据定义，A的四个列向量span A的列空间，其中第三和第四个列向量依赖于第一和第二列向量，前两列是独立的。因此，前两个列向量是主元列，它们构成列空间C(A)的basic。该矩阵的秩为 2。事实上，对于任何矩阵A都存在：

1
rank(A) = number of pivot columns of A = dimension of C(A).

这里矩阵A的列向量不是独立的，因此N(A)不仅仅包含零向量，所以存在

1
dimension of N(A) = number of free variables = n − r,