MIT18_06S 2.1

Orthogonal vectors and subspaces

本章主要讲向量、基和子空间正交的相关内容，核心内容是矩阵的行空间与其零空间正交，其列空间与其左零空间正交。

正交是垂直的另一种说法，如果两个向量之间的角度为90度，则它们是正交的。如果两个向量正交，则它们形成直角三角形，其斜边是向量之和。因此可以使用毕达哥拉斯定理来证明，当x和y正交时，点积的结果恰好为零。（长度平方）另外，所有向量都与零向量正交。

子空间S与子空间T正交的定义：S中的每个向量都与T中的每个向量正交。

矩阵的行空间与零空间正交，因为Ax = 0就意味着x与A的每一行的点积为0，x与A的任意行组合的乘积也必须为0。

同理，列空间与A的左零空间正交，因为的行空间垂直于的零空间。

实际上，矩阵的行空间和零空间将一个矩阵分解为两个互相垂直的子空间。比如，其行空间是一维的，基为，零空间则是维度为2的，与向量正交的平面。

零空间不仅与行空间正交，而且它们的维度加起来就是整个空间的维度，因此另一个说法就是零空间和行空间是中的正交补集。零空间包含垂直于行空间的所有向量，反之亦然。

因为测量误差的存在，一般是不可解的，因为m > n（方程个数大于未知数）。因此需要找到一个“最优解"，就是关键，因为。这里还有两个关键定理：

只有在A的列都是不相关时（），才是可逆的。

举个例子：

这个例子就是可逆的。