MIT18_06S 1.7笔记

这一章主要讲的是如何计算矩阵的nullspace

Computing the nullspace

假设要计算，并且存在矩阵A为： 要计算上面的等式，还是继续使用消元法（因为右边是0，这里就不需要使用augmented matrix了），消元法中对于行的操作不会改变x的解，即nullspace，只会改变column space。操作步骤如下： 矩阵U就呈现echelon form，第三行全是0，这是因为第三行是前面两行的线性组合。矩阵A的秩（rank）就等于2，即主元数量。

Special solutions

得到U之后，就可以通过代入找到x的解了，这里第一和第三列包含了主元，我们将其定义为pivot columns，其他的就是free columns。我们令，那么就可以求得。因此其中一个解就是。如果改一下free变量，就可以得到另一个解。A的nullspace就是所有解的线性组合。n-r(rank)就是nullspace的维数。

Reduced row echelon form

继续使用消除法可以将U转换为简化reduced row echelon form (rref form)的矩阵R，其中主元都等于1，而主元上方和下方均为零。 通过交换一些列，R可以用左上角的单位矩阵的重写，后面可能是右侧的一些空闲列。 如果A的某些行是线性相关的，则矩阵R下方的行将用零填充(I就是rank x rank的矩阵)： 那么nullspace ，，N的每一列都是一个Special solution。