MIT18_06S 1.6笔记

这一章主要介绍矩阵的 column space 和 nullspace。

Review of subspaces

向量空间是在线性组合下的向量集合，简单来说，对于向量空间中的任意两个向量v和w以及任意两个实数c和d，其线性组合cv+dw也在向量中。子空间就是指一个包含在另一个向量空间的向量空间。

一个包含了的平面P和经过的线L都是的子空间，但一般并不是一个子空间（除非L在P平面内），两个子空间S和T的交集则仍然是一个子空间（不只三维是这样，更高维也是这样）。

Column space of A

A的列空间，顾名思义就是矩阵A的所有列向量的线性组合。

Solving Ax = b

给一个矩阵A和什么样的向量b才能使得有一个解x，假设A是。答案是只有向量b是一个A向量空间中的一个向量时，才能满足这个等式，我们不能再有三个未知数的情况下解答四个等式。

对于上面矩阵A这个例子，不同列之间并不是独立的，比如第三列就是前面两列的和，因此A的列空间其实就是的一个二维子空间。

Nullspace of A

A的nullspace其实就是满足的所有答案，x其实也是的一个子空间。证明也比较简单：，并且。

以这个为例： A的nullspace ，这个nullspace其实就是的一条线。

Other values of b

并不是任意等式的答案集都是一个子空间，因为零向量的存在无法使其满足条件。