MIT18-06S 1.4 笔记

线性代数中最重要的一个操作就是矩阵分解，一个矩阵分解成两三个特别的矩阵。这一节主要介绍LU矩阵分解，这是从高斯消元法中得来的，L和U分别是下三角矩阵和上三角矩阵。

一些取逆和转置的性质

就是LU分解，前面一章已经介绍过怎么从一个矩阵A通过消元法得到一个上三角矩阵U，通过左乘一个矩阵比如：以一个2x2的矩阵为例：

然后将上面的等式转为的分解从而去掉，即通过左乘一个，，这里就是L。

分解后，U是一个上三角矩阵，其主元都在对角线上，L是下三角矩阵，并且对角线都是1，有时也会把主元拉出来成一个对角矩阵。

对于3x3的矩阵也是类似的，如果存在，那么就可以分解。假设是一个单元矩阵，并且和是这样的：

那么。

这一节主要是将计算机在进行消元操作时进行了多少次操作，以第一列为例，第一次做消除操作时，先将一行相乘，然后从另一行中减去它，这需要 n 次操作。第一列需要进行n次（实际上是n-1次，因为第一行不改变），因此总操作是。以此类推，第二列是，总共需要。

如果主元为0，需要交换行。对于矩阵而言，行交换可以左乘一个置换矩阵P。如果需要交换第一和第二行：置换矩阵转置后等于其逆矩阵，即