MIT18_06S 1.8笔记

Solving Ax = b: row reduced form R

这一节主要是解的问题。

我们还是用这个矩阵作为例子： A的第三行是其第一行和第二行的总和，因此我们知道，如果，则b的第三个元素应该等于第一和第二个元素的总和。如果b不满足，则等式无解。如果A的行组合算出零行，则b的元素组合也必须等于零。

确定是否可解的一种方法是对增广矩阵使用消元法。如果A中的一行被完全消除，则b中相应的条目也应被完全消除。在我们的示例中，A的第3行被完全消除了。为了使得这个例子有解，我们可以假设。

通过前面的学习，我们知道当b在列空间C(A) 中时，Ax = b就是可解的。事实上，这两种求可解性是等价的。

为了找到的所有解，我们首先检查方程是否可解，然后找到特定的解。通过将特定解添加到零空间中的所有向量，我们就能得到方程的完整解。

找到方程的特定解的一种方法是将所有free variables设置为零，然后求解pivot variables。对于前面示例矩阵A，令x2 = x4 = 0 得到方程组：最终可以求得一个特解。

因此的通解就可以通过给出，其中是零空间的通用向量，证明也比较简单：且，所以。前面我们也可求得的通解是和的线性组合。因此的全解就是：

矩阵的秩就是矩阵pivots的个数，如果A是秩为 r 的 m × n 矩阵，那么一定存在 r ≤ m 且 r ≤ n。此时，有0个或者无限个解。

如果 r = n，那么从前面知道零空间的维度为n − r = 0并且仅包含零向量，不存在自由变量或特殊解。如果有解，则该解是唯一的。我们知道 r ≤ m，因此如果 r = n，则矩阵的列数小于或等于行数，此时RREF就是，有1个或者0个解。

如果 r=m，RREF就是，没有零行，有n-m个free variables，有无限个解。

如果 r = m = n，则 A 是可逆方阵，RREF是单位矩阵。零空间的维度为零，并且有唯一的解。